如何獲得色散圖 Dispersion Diagram - 區分波數k與相位常數beta
相信接觸過Dispersion Diagram色散圖的朋友一開始都會有同樣的疑問，色散橫坐標到底是什么？
上網一搜Dispersion Diagram，能見到wave number, wave vector, propagation constant, phase constant, phase, phase advance, phase shift per cell, β, β(rad/m), β*d, βp, βL/2π, k，kz，還有-π~π，0-180-180-0, 0-π-sqr(2)π-0, Γ-X-M-Γ, Γ-K-M-Γ 等等等等，或者CST本征模求解器的結果：0-1-2-3或frequency。
其實要搞清楚這些表達式的區別很容易，在我看來，他們。。。都一樣。首先分清楚兩個量，波數k和相位常數beta，直接上我的總結：
字母 | β | k |
名稱 | 相位常數 Phase Constant | 波數 Wave Number |
等效名稱（條件） | 傳播常數（無損） Propagatoin Constant | 波矢（加方向） Wave Vector |
單位 | rad/m | rad/m |
定義式（右手材料，向前傳播） |
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定義式變式 （右手材料，向前傳播） |
ω角頻率單位rad/s, 相速度單位 m/s。 |
ω角頻率單位rad/s, 相速度單位 m/s。 |
特殊值 （可叫Light line或Air line ） |
c: 光速 |
c: 光速 |
周期結構的單元長度 | d （也可以叫p，L, a等等）
| d（也可以叫p，L, a 等等）
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周期結構 | 單向傳輸 | 雙向平面 |
CST 求解器 |
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推薦求解 Mode數量 | 1 | >=2 |
掃描角范圍 | 單一方向掃相位0-180
| X和Y兩個方向掃相位 （布里淵區） |
CST 掃描參數 | Phase | PathPara |
CST 模板默認掃描范圍 | 5-175, step =10 | 0.1-2.9, step =0.28 |
CST 掃描結果 | 掃描之前運行宏： “Define Slow Wave userdefined Watch | 直接掃描 |
色散圖 | ω vs β | f vs Γ-X-M-Γ |
+ unit cell邊界參數掃描色散圖：色散工程中是指k或beta與頻率的曲線；根據表中的變式，這條曲線的系數就是相速度Vp決定，還可以通過曲線的斜率判斷群速度Vg，非常方便。
所以，色散曲線的橫坐標就是k或beta，下面我們研究一下，為什么橫坐標會有這么多的表達方法：
1. Beta相位常數
Beta是指單方向傳播電磁波，單位距離的角相位，我們更關心以該單元為周期結構時，傳播的特性：比如相速度Vp。
之前寫過兩個傳輸性質的單元結構，傳輸線單元和行波管單元：
仿真實例019：行波管TWT仿真（上）慢波結構的冷設計
仿真實例050：微帶傳輸線 - 本征模 - Beta相位常數，色散圖, 相速度, Pierce耦合阻抗
比如其中傳輸線單元原始結果和調整后的結果：
傳輸線的色散線是直的，斜率為正，所以群速度相速度同方向，為右手材料；若為左手材料，比如之前寫的SRR，模式曲線可以向下傾斜（扯遠了, 以后再說）。
傳輸線單元和行波管單元兩個案例都是只有在傳播方向上是周期邊界而已，所以掃描角度0-180度，具體如何將CST直接的propagation constant beta/m vs frequency的結果轉化成
ω vs β 的方法也在文章中。
beta作為坐標軸的幾種表示方式：
Beta本身單位是rad/m, 這時橫坐標數值不限。
其他表示方式: k, Wavevector (10^4 m^-1)， Wave number(β), Wave number(um), β=2pi/lamda (cm-1) 等等。
Beta*d就是一個單元長度下的相位，單位是rad；這時橫坐標就可以是負π到π。
其他表示方式: β*d, βd(rad/m), β*p, βp, β*period (degrees), kL, ka, kd 等等。
Beta*d/π 就是一個單元的一個π內的相位數，可以叫歸一化的beta，無單位；這時橫坐標就可以是-1到1。
其他表示方式: β(π/d), phase/π, k(π/a)， KL/ π等等。
2. k波數
k是指平面360度周期方向，單位距離的角相位，我們更關心以該單元為周期表面時，該表面橫向的特性，比如就是模式間的禁帶。
之前寫過兩個平面性質的單元結構，光子晶體單元和蘑菇形單元：
仿真實例015：超材料光子晶體和禁帶分析實例
仿真實例051：超表面---經典蘑菇型結構的AMC特性與EBG特性
比如其中蘑菇形單元原始結果和調整后的結果：
光子晶體單元和蘑菇形單元兩個案例都是看兩個橫向的模式，所以掃描角度要包括XY平面一周，這就是布里淵區的作用，通過掃描
(phaseX= 0~180, phaseY=0)
(phaseX=180, phaseY=0~180)
(phaseX=180~0, phaseY=180~0)
三個區間就可以表征360度一圈每個角度。這三個區間等于CST中的0-1-2-3。
其實細心的朋友應該能發現，這三個區間的第一個區間，就等于X方向上的beta色散。
小結：
1. 色散圖首先搞清楚是掃描一個方向還是兩個方向，是k和beta。
2. 可在CST中手動加空氣線（光速線）作為色散圖標準尺。
3. 可見很多時候k和beta混著用，所以只要自己知道自己在干什么就可以了。
4. 這里為了簡單，本文中用的都是普通的右手材料，左手材料的色散以后有機會再寫。懂了色散圖，左手材料就很容易學習了。
5. 本文中的布里淵區 Γ-X-M-Γ是假設X和Y方向90度角的周期排列。60度角以后再寫。
